Zur additiven und multiplikativen Struktur des äquivarianten Wittrings

Dissertation
zur Erlangung des Doktorgrads der Fakultät für Mathematik an der Universität Bielefeld,
vorgelegt von
Werner Missbach, Bielefeld 1976

Einleitung

Das Ziel dieser Arbeit war es, eine Vermutung von A. Dress über den Wittring W(KH) der H-äquivarianten Formen einer endlichen Gruppe über einem formal reellen Körper K zu beweisen. Eine H-äquivariante Form ist eine symmetrische K-Bilinearform f auf einem endlich dimensionalen K-Vektorraum V, der zugleich ein KH-Modul ist, so daß für alle heH und v,weV gilt:

f(hv,hw) = f(v,w).

Orthogonale Summe und orthogonales Produkt H-äquivarianter Formen können in naheliegender Weise definiert werden; der Grothendieckring der Isometrieklassen nicht ausgearteter H-äquivarianter Formen wird mit U(KH) bezeichnet. Eine H-äquivariante Form heißt hyperbolisch, wenn es einen Untermodul gibt, der sein eigenes orthogonales Komplement ist; die hyperbolischen formen erzeugen ein Ideal in U(KH), dessen Quotient nach diesem Ideal der Wittring W(KH) heißt.

Setzt man für H die triviale Gruppe, so erhält man die bekannten Konstruktionen U(K), W(K). Die Klassen H-äquivarianter Formen auf KH-Moduln mit trivialer H-Operation bilden einen zu W(K) isomorphen Unterring, W(K) operiert also in natürlicher Weise auf W(KH). A. Pfister bewies, daß für nicht formal reelle Körper W(K) eine Torsionsgruppe ist ([9], Satz 16); wegen der Operation von W(K) auf W(KH) ist dann auch W(KH) eine Torsionsgruppe. Für formal reelle Körper ist W(K) keine Torsionsgruppe; Pfister zeigte jedoch, daß Torsionselemente in diesem Fall nilpotent sind ([9], Satz 22). Man kann sich nun fragen, ob diese Eigenschaft sich ebenfalls auf W(KH) überträgt.

W(KH) läßt sich als Greenfunktor im Sinne der Dress'schen Induktionstheorie interpretieren ([4]); im Rahmen dieser Theorie ist es von großem Interesse zu wissen, daß Torsionselemente nilpotent sind ([5], Thm.8.2; [4], Prop.5.2). die Vermutung von A. Dress lautete([3]):

Sei K formal reell, dann sind Torsionselemente in W(KH) nilpotent.

Im ersten Kapitel werden grundlegende Begriffe eingeführt und die Verbindung der Begriffsbildungen mit denjenigen der Theorie der symmetrischen K-Bilinearformen und der Theorie der Darstellungen von H über K herausgestellt. Am Schluß des ersten Kapitels wird ein weiteres Resultat von A. Pfister übertragen ([9], Satz 10):

Wenn K formalreell ist, so gibt es zu jedem Torsionselement xeTorW(KH) ein neIN mit 2ⁿx=0.

Pfisters Überlegungen fußen weitgehend auf der Diagonalisierbarkeit von K-Bilinearformen; H-äquivariante Formen lassen sich in dieser Weise nicht diagonalisieren. Auf dem Umweg über die Morita Theorie läßt sich allerdings dann doch so etwas wie eine Diagonalisierbarkeit erzielen: Eine nicht ausgeartete H-äquivariante Form t auf einem Generator W induziert zueinander inverse Äquivalenzen zwischen der Kategorie der H-äquivarianten Formen und der Kategorie der E-hermiteschen Formen über einem Ring E mit Involution. E ist hierbei der Gegenring zu End_KH(W) mit einer zu t gehörigen Involution. Wenn nun W ein minimaler Generator ist, zerfällt E in ein Produkt von Schiefkörpern E_i mit Involution. Jede E-hermitesche Form zerfällt in eine orthogonale Summe E_i-hermitescher Formen, die nun wiederum diagonalisierbar sind, so daß jede H-äquivariante Form durch eine Anzahl von Diagonalmatrizen mit Eingängen aus den Schiefkörpern E_i beschrieben werden kann. Dies und die genauere Untersuchung der zu einer Form gehörigen Involution auf dem Endomorphismenring wird im zweiten Kapitel dargestellt. Abschließend wird W(KH) für formal reell abgeschlossene Körper K berechnet; hier ist die Vermutung trivialerweise richtig, da W(KH) torsionsfrei ist.

Man kann eine H-äquivariante Form durch Einschränkung der Operation auf eine Untergruppe E leicht als E-äquivariante Form auffassen; umgekehrt kann man zu jeder E-äquivarianten Form eine H-äquivariante Form so konstruieren, daß damit der formale Rahmen für eine Induktionstheorie gegeben wird und (wie bereits oben erwähnt) U(K-) und W(K-) Greenfunktoren werden. Man kann dann nach einer möglichst kleinen Klasse ID von Gruppen fragen, so daß die Summe der Induktionsmorphismen

Å_{EeID,E ÌH}W(KE) ® W(KH)

surjektiv ist, in der Hoffnung, das Problem dann auf die Gruppen der Klasse ID reduzieren zu können. ID heißt Defektbasis, und A. Dress bewies in [4], daß die Klasse der 2-hyperelementaren Gruppen eine Defektbasis für den "lokalisierten" Greenfunktor U(K-)₍₂₎ ist. Diese Klasse ist auch eine Defektbasis für den "lokalisierten" Greenfunktor W(K-)₍₂₎; dieses Resultat reicht aus, um das Problem zu reduzieren (Induktionssatz):

Wenn die Vermutung für alle 2-hyperelementaren Gruppen richtig ist, so ist sie für alle endlichen Gruppen richtig.

Dieser Sachverhalt wird im dritten Kapitel dargestellt.

Im vierten Kapitel wird der Begriff des formal reellen Zerfällungskörpers eingeführt (Dress [3]): ein formal reeller Körper K heißt ein formal reeller Zerfällungskörper für H, wenn irreduzible KH-Moduln bei Skalarenerweiterung mit formal reellen Erweiterungskörpern irreduzibel bleiben. Die Endomorohismenschiefkörper irreduzibler Moduln lassen sich hier bestimmen, und mit Hilfe der Morita quivalenz kann W(KH) weitgehend berechnet werden. Damit kann unter Vwerwendung des Pfisterschen Resultates für formal reelle Zerfällungskörper die Vermutung verifiziert werden (Satz 2 als Korollar zum Satz S. 57), speziell ist sie richtig für beliebige formal reelle Köroper K und die symmetrischen Gruppen S_n (Korollar 1).

Eine genauere Untersuchung des Skalarenerweiterungsmorphismus zusammen mit einem zentralen Lemma (S. 60) ermöglicht eine erheblich allgemeinere Aussage (Satz 1). Dazu werden Charakterkörper untersucht. Unter Ausnutzung eines Resultates von P. Roquette können nun formal reelle Zerfällungskörper für irreduzible Moduln nilpotenter Gruppen angegeben werden (Satz 3). Es folgt, daß die Vermutung für beliebige formal reelle Körper und nilpotente Gruppen richtig ist (Korollar 2). Der Induktionssatz liefert eine verschäfte Fassung von Satz 1 (Satz 4), wodurch man mit Satz 3 zeigen kann, daß die Vermutung für beliebige formal reelle Körper und Gruppen ungerader Ordnung richtig ist (Korollar 3).

U(KH) ist durch die äußeren Potenzen ein l-Ring, so daß hier Torsionselemente aus allgemeinen Gründen nilpotent sind. W(KH) ist kein l-Quotient, aknn aber mit einer l-Struktur versehen werden, wenn K ein formal reeller Zerfällungskörper für H ist; damit hat man einen zweiten Beweis für Satz 2.

Die hier erzielten Resultate erlauben es trotz der detaillierten Einsicht in die Struktur der Wittringe nicht, die Vermutung für die Klasse der 2-hyperelementaren Gruppen (und somit für alle endlichen Gruppen) zu beweisen. A. Dress hat nach Fertigstellung dieser Arbeit die Vermutung mit anderen Methoden in voller Allgemeinheit ohne Benutzung des Induktionssatzes beweisen können. Sein Beweis wird im fünften Kapitel dargestellt, nebst einem zweiten Beweis für Korollar 3.

Für die Betreuung dieser Arbeit möchte ich Andreas Dress herzlich danken.